Wzory Viete'a

Francois Viete jest twórcą wzorów viet'a nazwanych od jego imienia. Są one bardzo przydatne i wręczn niezbędne na egazmine maturalnym, w sczególności na poziomie podstawowym.

Wzory Viet'a służą do:

Wzory viet'a okreśone są dla funkcji kwadratowej danej wzorem $f(x) = \color{green}{a}x^2+\color{blue}{b}x+\color{orange}{c}$, należy zwrócić szczególną uwagę iż wzory te istnieją tylko wtedy, gdy funkcja kwadratowa ma $2$ pierwiastki (rozwiązania) ($\Delta > 0$). Poniższa tabela przedstawia wzory viet'a:

Nazwa Wzór
Suma pierwiastków (rozwiązań): $$\color{brown}{x_1} + \color{brown}{x_2} = \frac{-\color{blue}{b}}{\color{green}{a}}$$
Iloczyn pierwiastków (rozwiązań): $$\color{brown}{x_1} \cdot \color{brown}{x_2} =\frac{\color{orange}{c}}{\color{green}{a}}$$
Uwaga!

Bardzo ważne, aby dogłebnie zrozumieć ten temat, gdyż na każdej maturze rozszerzonej występuje zadanie, które wymaga zastosowania wzorów viet'a. Rozwiązanie takiego zadania to od $8 \%$ do nawet $14 \%$. Więc jeśli masz zamiar kłaść specjalny nacisk na jeden z działów podczas przygotowań do matury, to właśnie powinien być ten.

Suma pierwiastków $x_1+x_2$

Wyprowadzenie Wzoru:
Zacznijmy od wyprowadzenia wzoru na sumę pierwiastków (rozwiązań) funkcji kwadratowej. Jak pamiętamy gdy wyznacznik trójmianu kwadratowego, oznaczany jako $\Delta$ (czyt. delta), jest większy od zera $\Delta > 0$ to miejsca zerowe możemy obliczyć za pomocą następujących wzorów: $$\color{brown}{x_1} = \frac{-\color{blue}{b} - \sqrt{\color{purple}{\Delta}}}{2\color{green}{a}} \qquad \color{brown}{x_2} = \frac{-\color{blue}{b} + \sqrt{\color{purple}{\Delta}}}{2\color{green}{a}}$$ $$\color{brown}{x_1} + \color{brown}{x_2} = \frac{-\color{blue}{b} - \sqrt{\color{purple}{\Delta}}}{2\color{green}{a}} + \frac{-\color{blue}{b} + \sqrt{\color{purple}{\Delta}}}{2\color{green}{a}} = \frac{(-\color{blue}{b} - \sqrt{\color{purple}{\Delta}}) + (-\color{blue}{b} + \sqrt{\color{purple}{\Delta}})}{2\color{green}{a}} = \frac{-2\color{blue}{b}}{2\color{green}{a}} = \frac{-\color{blue}{b}}{\color{green}{a}}$$ $$\color{brown}{x_1} + \color{brown}{x_2} = \frac{-\color{blue}{b}}{\color{green}{a}}$$

Zastosowanie:

Iloczyn pierwiastków $x_1 \cdot x_2$

Wyprowadzenie Wzoru:
Postępujemy podobnie jak w przypadku sumy pierwiastków. $$\color{purple}{\Delta} = \color{blue}{b}^2 - 4 \color{green}{a} \color{orange}{c}$$ $$\color{brown}{x_1} \cdot \color{brown}{x_2} = \frac{-\color{blue}{b} - \sqrt{\color{purple}{\Delta}}}{2\color{green}{a}} \cdot \frac{-\color{blue}{b} + \sqrt{\color{purple}{\Delta}}}{2\color{green}{a}} = \frac{(-\color{blue}{b} - \sqrt{\color{purple}{\Delta}}) (-\color{blue}{b} + \sqrt{\color{purple}{\Delta}})}{2\color{green}{a}} =\\ = \frac{\color{blue}{b}^2-\color{purple}{\Delta}}{4\color{green}{a}^2} = \frac{\color{blue}{b}^2-(\color{blue}{b}^2 - 4 \color{green}{a} \color{orange}{c})}{4\color{green}{a}^2} = \frac{4\color{green}{a}\color{orange}{c}}{4\color{green}{a}^2} = \frac{\color{orange}{c}}{\color{green}{a}}$$ $$\color{brown}{x_1} \cdot \color{brown}{x_2} =\frac{\color{orange}{c}}{\color{green}{a}}$$

Zastosowanie:
Iloczynu pierwiastków używamy do określenia jakich znaków są rozwiązania Jeśli $x_1 \cdot x_2 > 0$ to albo mnożym przez siebie dwie liczby dodatnie albo dwie liczby ujemne. Jeżeli natomiast $x_1 \cdot x_2 < 0$ oznacza to, że jedna z liczb jest ujemna a druga dodatnia.

Określanie znaków rozwiązań funkcji kwadratowej

Równanie ma: Gdy spełniony jest warunek: Przykład:
dwa różne pierwiastki
różnych znaków
$$\begin{cases} \Delta > 0\\ x_1 \cdot x_2 < 0 \end{cases}$$
dwa różne pierwiastki
tego samego znaku
$$ \begin{cases} \Delta > 0\\ x_1 \cdot x_2 > 0 \end{cases}$$
dwa różne pierwiastki
dodatnie
$$ \begin{cases} \Delta > 0\\ x_1 \cdot x_2 > 0\\ x_1 + x_2 > 0 \end{cases}$$
dwa różne pierwiastki
ujemne
$$\begin{cases} \Delta > 0\\ x_1 \cdot x_2 > 0\\ x_1 + x_2 < 0 \end{cases}$$

Przydatne Przekształcenia

Poniżej znajdziesz najczęściej występujące przekształcenia, doprowadzające wyrażenie do postaci, w której występują już wzory viet'a.

Przydatne Przekształcenia:
(1)

$$x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 \color{purple}{+2x_1x_2} + x_2^2 \color{purple}{-2x_1x_2} = (x_1+x_2)^2 \color{purple}{-2x_1x_2}$$

(2)

$$x_1^2 \cdot x_2^2 = (x_1 \cdot x_2)^2$$

(3)

$$(x_1-x_2)^2 = x_1^2 -2x_1x_2 +x_2^2 = x_1^2 -2x_1x_2 \color{purple}{+4x_1x_2} x_2^2 \color{purple}{-4x_1x_2} = x_1^2 \color{red}{+} 2x_1x_2 + x_2^2 \color{purple}{-4x_1x_2} = (x_1+x_2)^2 \color{purple}{-4x_1x_2}$$

(4)

$$|x_1-x_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2} = \sqrt{(x_1+x_2)^2 \color{purple}{-4x_1x_2}}$$

(5)

$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2+x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$

(6)

$$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2+x_1^2}{x_1^2x_2^2} = \frac{(x_1+x_2)^2 \color{purple}{-2x_1x_2}}{(x_1x_2)^2}$$

Nie obliczając pierwiastków równania $2x^2-5x-6=0$, oblicz