Rysowanie Funkcji Kwadratowej

Jeśli trafi Ci się zadanie, z pozoru wydające się, nie mieć żadnego sensu lub gdy nie masz pojęcia gdzie zacząć, spróbuj narysować wykres. Jest to czasami pomocne gdy rzeczywiście chcesz zobaczyć na czym polega dane zadanie, zamiast tylko czytać go. Rysowanie funkcji kwadratowej nie jest tak ciężkie jak mogłoby się wydawać. Wystarczy przestrzegać trzech prostych kroków, które zostałe przedstawiony poniżej.

  1. góra czy dół — zdecudyj w jakim kierunku skierowane są ramiona parabol (dla $a > 0 skierowane są do góry)
  2. osie — znajdź gdzie krzywa przecina osie (podstaw kolejno $x = 0$, a następnie $y = 0$)
  3. max/min — znajdź wierzchołek ($x_w = \frac{-b}{2a}$)
Trafne spostrzeżenia:

Przecięcie z osią OY zawsze jest równe C. Wykres funkcji kwadratowej zawsze jest symetryczny względem prostej przechodzącej przez wierzchołek tej paraboli. Funkcje z negatywnym współczynnikiem przy $x^2$ dobrze symulują różnego rodzaju rzuty.

wykresy następujących funkcji kwadratowych:
$$y = x^2-2x-3$$ $$y = -4x^2-8x-5$$
Kształt wykresu

Wykres funkcji kwadratowej zawsze jest u-kształtna lub n-kształtna parabola.

Krok 1: Pierwsze co musisz wiedzieć przed rysowaniem wykresu, to to czy będzie on u-kształtny (ramiona paraboli skierowane w górę), czy może jednak n-kształtny (ramiona paraboli skierowane w dół). Aby zdecydować, popatrz na współczynnik (stałą) znajdującą się przy $x^2$.

$$y = \color{red}{1} x^2-2x-3$$ $$y = \color{red}{-4} x^2-8x-5$$
Współczynnik przy x^2 jest dodatni.. Współczynnik przy x^2 jest ujemny..
a-dodatnie

..zatem ramiona paraboli skierowane są w górę tak jak na poniższym rysunku:

a-ujemne

..zatem ramiona paraboli skierowane są w dół tak jak na poniższym rysunku:

Krok 2: Znajdź miejsca, w których wykres przecina się z osiami (osią $OY$ i osią $OX$).

Pamiętaj

Aby znaleźć miejsce przecięcia się wykresu funkcji kwadratowej z osią $OY$ podstawiamy $x = 0$. Natomiast aby oliczyć miejsca przecięcia się z osią $OX$ rozwiązujemy równanie $y=0$.

a) Podstaw $x = 0$ aby znaleźć miejsce przecięcia wykresu z osią $OY$ a) $x=0$
$$y = x^2-2x-3$$ $$y = -4x^2-8x-5$$
$y = 0^2-2\cdot0-3=-3$ $y = -4\cdot 0^2 - 8 \cdot 0 -5 = -5$
$$y = -3$$ W tym miejscu właśnie, wykres przecina oś $OY$. $$y = -5$$
b) Rozwiąż $y = 0$ w celu znalezienia miejsc, w których wykres przecina oś $OX$ b) $y=0$
$$x^2-2x-3 = 0$$ $$-4x^2-8x-5 = 0$$
$(x+1)(x-3) = 0$ $\Delta = b^2-4ac = 64-80=-16<0$
Stąd rozwiązaniami są: $x=1$ oraz $x=3$ Delta mniejsza od zera, czyli równanie to nie ma żadnych rozwiązań. Zatem nie przecina osi $OX$

Krok 3: Znajdź współrzędne wierzchołka tzn. maksimum albo minimum.

max/min

Maksimum lub minimum (wierzchołek) funkcji kwadratowej ma zawsze współrzędną $x_w = \frac{-b}{2a}$, gdy dana jest funkcja kwadratowa postaci $ax^2+bx+c$.

$$y = x^2-2x-3$$ $$y = -4x^2-8x-5$$
$x_w = \frac{-(-2)}{2\cdot 1} = 1$ $x_w = \frac{-(-8)}{2\cdot (-4)} = -1$
Oznacza to, że dla $x = 1$ funkcja przyjmuje wartość najmniejszą Oznacza to, że dla $x = -1$ funkcja przyjmuje wartość najwiekszą
Zatem wartością minimalną jest $y = (1)^2 -2\cdot(1)-3 = -4$ Zatem wartością maksymalną jest $y = -4 \cdot (-1)^2 - 8 \cdot (-1) -5 = -1$

Krok 4: Jedyne co pozostaje to narysować wykres.

$$y = x^2-2x-3$$ $$y = -4x^2-8x-5$$
x^2-2x-3 -4x^2-8x-5
Najbardziej charakterystyczne punkty wykresu funkcji kwadratowej

Każdy wykres funkcji kwadratowej przechodzi przez punkt $(0,\color{orange}{c})$ oraz punkt $W = (\color{orchid}{p},\color{fuchsia}{q})$.