Równania Kwadratowe z Parametrem

Równania Kwadratowe z Parametrem

Ilość rozwiązań oraz ich wartości w zależności od stałej $k$ dla równania postaci $x^2=k$.

Ilość Pierwiastków

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $mx^2-6x-1 = 0$ ma conajmniej jedno rozwiązanie?

I. Zauważamy, że kiedy $m = 0$ równanie kwadratowe redukuje się do równania liniowego: $$-6x-1=0$$ $$x_0 = -\frac{1}{6}$$ Równanie to ma jedno rozwiązanie, więc $0$ jest jedną z szukanych wartości parametru $m$
II. Równanie kwadratowe ma jedno lub więcej rozwiązazń, gdy $\Delta \geq 0$, ponadto $m \neq 0 $. Zatem otrzymujemy następujący układ równań: $$\begin{cases} m \neq 0\\ \Delta \geq 0\\ \end{cases}$$ Obliczamy deltę: $$\color{green}{a} =\color{green}{m} \qquad \color{blue}{b} = \color{blue}{-6} \qquad \color{orange}{c} = \color{orange}{-1}$$ $$\color{purple}{\Delta} = \color{blue}{b}^2 - 4 \color{green}{a} \color{orange}{c} = (\color{blue}{-6})^2 - 4 \color{green}{m} \cdot (\color{orange}{-1)} = 36+4m$$ $$\color{purple}{\Delta} \geq 0$$ Stąd otrzymujemy: $$36+4m \geq 0$$ $$4m \geq -36 \quad | \div 4$$ $$m \geq -9$$ $$m \in \langle -9;+\infty)$$ Pamiętając, że $m \neq 0$ otrzymujemy: $$m \in \langle -9;+\infty) \backslash \{0\}$$ III. Łączymy wyniki z I. i II. otrzymując:
Odp.: $$m \in \langle -9;+\infty) \backslash \{0\} \cup \{0\} \Leftrightarrow m \in \langle -9;+\infty)$$

Ilość Pierwiastków i ich Znaki

Dla jakich wartości parametru $a$ równanie $x^2+8x+a+2=0$ ma dwa różne pierwiastki jednakowych znaków.

(1) Równanie ma dwa różne pierwiastki, gdy $\color{purple}{\Delta} > 0$ i $\color{green}{a} \neq 0$
(2) Dwie liczby mają ten sam znak, tzn. obie są dodatnie lub obie są ujemne, wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest dodatni.

Zapisujemy te warunki za pomocą znanych nam wzorów: $$ \begin{cases} (1) & \Delta > 0\\ (2) & x_1x_2 > 0 \end{cases} $$ (1) Obliczamy deltę: $$\color{green}{a} =\color{green}{1} \qquad \color{blue}{b} = \color{blue}{8} \qquad \color{orange}{c} = \color{orange}{a+2}$$ $$\color{purple}{\Delta} = \color{blue}{b}^2 - 4 \color{green}{a} \color{orange}{c} = \color{blue}{8}^2 - 4 \color{green}{1} \cdot (\color{orange}{a+2}) = 64-4a-8=56-4a$$ $$\color{purple}{\Delta} > 0$$ Stąd otrzymujemy: $$56-4a > 0$$ $$-4a > - 56 \quad | \div (-4)$$ $$a < 14$$ $$a \in (-\infty; 14)$$

(2) Obliczamy iloczyn pierwiastków ze wzorów viete'a: $$x_1x_2 = \frac{\color{orange}{c}}{\color{green}{a}} = \frac{\color{orange}{a+2}}{\color{green}{1}}$$ $$x_1x_2 > 0$$ $$\color{orange}{a+2} > 0$$ $$a > -2$$ $$a \in (-2;+\infty)$$

Znajdujemy część wspólną warunków (1) i (2):
Odp.: $$ a \in (-\infty; 14) \cap (-2;+\infty) \Rightarrow a \in (-2;14)$$