Równania Kwadratowe Na Poziomie Podstawowym

Umiejętność rozwiązywania równań kwadratowych jest niezbędna do zdania matury z matematyki. Równania występują w arkuszach zarówno w zadaniach otwartych, jak i zamkniętych oraz są podstawą do rozwiązywania zadań z innych działów.

Sposoby Rozwiązywania Równań Kwadratowych
Uwaga!

Przy rozwiązywaniu równania kwadratowego pomocne mogą być wskazówki:

  1. Wyróżnik trójmianu kwadratowego - popularną "deltę" obliczamy tylko wtedy, gdy równanie ma postać: $\color{green}{a}x^2 + \color{blue}{b}x + \color{orange}{c} = 0$ i wszystkie współczynniki są różne od zera.
  2. Równania typu $\color{green}{a}x^2 + \color{blue}{b}x = 0$ rozwiązujemy wyłączając wspólny czynnik przed nawias.
  3. W równaniu $\color{green}{a}x^2 + \color{orange}{c} = 0$ stosujemy wzór skróconego mnożenia: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, lub uzasadniamy, że równanie nie ma rozwiązania.
  4. Zawsze doprowadzamy równanie kwadratowe do najprostszej postaci - unikamy znaku "$-$" przed $x^2$ oraz ułamków. Sprawdzamy, czy można równanie obustronnie podzielić przez liczbę całkowitą, by zmniejszyć wartości współczynników.
Rozwiąż równanie $\color{green}{3}x^2 \color{blue}{-7}x + \color{orange}{2} = 0$. $$\color{green}{a} = \color{green}{3} \quad \color{blue}{b} = \color{blue}{-7} \quad \color{orange}{c} = \color{orange}{2}$$ $$\color{purple}{\Delta} = \color{blue}{b}^2 - 4 \color{green}{a} \color{orange}{c}$$ $$\color{purple}{\Delta} = (\color{blue}{-7})^2 - 4 \cdot \color{green}{3} \cdot \color{orange}{2} = 49 - 24 = 25$$ $$\sqrt{\color{purple}{\Delta}} = \sqrt{25} = 5$$ $$\color{brown}{x_1} = \frac{-\color{blue}{b} - \sqrt{\color{purple}{\Delta}}}{2\color{green}{a}} \quad \color{brown}{x_2} = \frac{-\color{blue}{b} + \sqrt{\color{purple}{\Delta}}}{2\color{green}{a}}$$ $$\color{brown}{x_1} = \frac{-(\color{blue}{-7}) - 5}{2 \cdot \color{green}{3}} = \frac{7-5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$\color{brown}{x_2} = \frac{-(\color{blue}{-7}) + 5}{2 \cdot \color{green}{3}} = \frac{7+5}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ Odp.: Rozwiązaniem równania są dwie liczby $\frac{1}{3}$ i $2$.
Rozwiąż równanie $\color{green}{-}x^2 + \color{blue}{10}x \color{orange}{-25} = 0$
Pozbywamy się znaku "$-$" przy $x^2$: $$\color{green}{-}x^2 + \color{blue}{10}x \color{orange}{-25} = 0 \quad | \cdot (-1)$$ $$\color{green}{\ }x^2 \color{blue}{-10}x + \color{orange}{25} = 0$$ $$\color{green}{a} = \color{green}{1} \quad \color{blue}{b} = \color{blue}{-10} \quad \color{orange}{c} = \color{orange}{25}$$ $$\color{purple}{\Delta} = \color{blue}{b}^2 - 4 \color{green}{a} \color{orange}{c}$$ $$\color{purple}{\Delta} = (\color{blue}{-10})^2 - 4 \cdot \color{green}{1} \cdot (\color{orange}{25}) = 100 - 100 = 0$$ $$\color{brown}{x_0} = \frac{-\color{blue}{b}}{2\color{green}{a}} = \frac{-(\color{blue}{-10})}{2 \cdot \color{green}{1}} = \frac{10}{2} = 5$$ Odp.: Rozwiązaniem równania jest liczba $5$.
Rozwiąż równanie $\color{green}{-2}x^2 + \color{blue}{3x} = 0$.
Pozbywamy się znaku "$-$" przy $x^2$: $$\color{green}{-2}x^2 + \color{blue}{3}x = 0 \quad | \cdot (-1)$$ W tego typu zadaniach chcemy, aby "nic nie stało" przed $x^2$: $$\color{green}{2}x^2 \color{blue}{-3}x = 0 \quad | \div 2$$ $$x^2 - \frac{3}{2}x = 0$$ Wyciągamy $x$ przed nawias: $$x(x - \frac{3}{2}) = 0$$ Zawartość nawiasu przyrównujemy do zera: $$\color{brown}{x_1} = 0 \quad \vee \quad x - \frac{3}{2} = 0$$ $$\color{brown}{x_1} = 0 \quad \vee \qquad \color{brown}{x_2} = \frac{3}{2}$$ Odp.: Rozwiązaniem równania są liczby $0$ i $\frac{3}{2}$.
Rozwiąż równanie $\color{green}{-2}x^2 + \color{orange}{18} = 0$.
Upraszczamy równanie: $$\color{green}{-2}x^2 + \color{orange}{18} = 0 \quad | \div (-2)$$ $$\color{green}{}x^2 \color{orange}{-9} = 0$$ $$x^2 - 3^2 = 0$$ Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów zapisujemy: $$(x-3)(x+3) = 0$$ Zawartość nawiasów przyrównujemy do zera: $$x-3 = 0 \quad \vee \quad x+3 = 0$$ $$x_1 = 3 \quad \vee \quad x_2 = -3$$ Odp.: Rozwiązaniem równania są liczby $-3$ i $3$.