Równania Kwadratowe Postaci $ax^2 + bx + c = 0$

To chyba najbardziej popularna postać funkcji kwadratowej. Nauczymy się jak obliczyć miejsca zerowe lub stwiedzić kiedy ich nie ma.

Każde równanie kwadratowe możemy rozwiązać, za pomocą wzorów na pierwiastki (rozwiązania).

$$\color{purple}{\Delta} = \color{blue}{b}^2 - 4 \color{green}{a} \color{orange}{c}$$
gdy $\color{purple}{\Delta} > 0$ gdy $\color{purple}{\Delta} = 0$ gdy $\color{purple}{\Delta} < 0$
2 rozwiązania 1 rozwiązanie brak rozwiązań
$$\color{brown}{x_1} = \frac{-\color{blue}{b} - \sqrt{\color{purple}{\Delta}}}{2\color{green}{a}}$$ $$\color{brown}{x_2} = \frac{-\color{blue}{b} + \sqrt{\color{purple}{\Delta}}}{2\color{green}{a}}$$ $$\color{brown}{x_0} = \frac{-\color{blue}{b}}{2\color{green}{a}}$$ $$-$$

Zatem poza wyciąganiem $x$ przed nawias (metodą iloczynową) istnieje jescze metoda standardowa polegająca na wykorzystaniu powyższych wzorów.

Rozwiąż równanie $x^2 - 8x + 16$.

I sposób:
faktoryzacja

$$x^2 \color{blue}{-8}x + \color{orange}{16}$$ Musimy znaleźć takie dwie liczby, które jak dodamy dadzą nam $\color{blue}{-8}$: $$\_ + \_ = \color{blue}{-8}$$ $$-4 + (-4) = \color{blue}{-8}$$ oraz ich iloczyn musi wynosić $\color{orange}{16}$: $$\_ \cdot \_ = \color{orange}{16}$$ $$-4 \cdot (-4) = \color{orange}{16}$$ $-4$ spełnia oba warunk zatem $$x^2 \color{blue}{-8}x + \color{orange}{16} = (x - 4^2)$$ $$\color{brown}{x_0} = 4$$

II sposób:
wzór skróconego mnożenia

Nie jest to łatwe do spostrzeżenia jednakże w tym przypadku można zastosować wzór skróconego mnożenia $$\color{green}{a}^2-2\color{green}{a}\color{blue}{b}+\color{blue}{b}^2=(\color{green}{a}-\color{blue}{b})^2$$ $$\color{green}{x}^2 - 2\cdot \color{blue}{4}\color{green}{x} + \color{blue}{4}^2 = (\color{green}{x}-\color{blue}{4})^2$$ $$(x - 4)^2 = 0$$ $$x - 4 = 0$$ $$\color{brown}{x_0} = 4$$

III sposób:
delta

$$\color{green}{a} = 1,\ \color{blue}{b} = -8,\ \color{orange}{c} = 16$$ $$\color{purple}{\Delta} = \color{blue}{b}^2 - 4 \color{green}{a} \color{orange}{c}$$ $$\color{purple}{\Delta} = (-8)^2-4\cdot 1 \cdot 16$$ $$\color{purple}{\Delta} = 64 - 64 = 0$$ $$\color{brown}{x_0} = \frac{-\color{blue}{b}}{2\color{green}{a}} = \frac{-(-8)}{2\cdot 1} = 4$$