Równania Kwadratowe Postaci $x^2= k$

Zajmijmy się równaniami kwadratowymi $x^2 = k$, gdzie $x$ jest zmienną, a $k$ jest jakąś stałą. Sposoby rozwiązania (a jest ich kilka) przedstawimy poprzez rozwiązywanie następujących przykładów.

Rozwiązania równania $x^2=k$

Ilość rozwiązań oraz ich wartości w zależności od stałej $k$ dla równania postaci $x^2=k$.

Rozwiąż następujące równanie: $8x^2=32$
Zawsze dzielimy przez liczbę stojącą przy $x^2$, jeśli takowa jest. W tym przypadku jest to $8$. $$8x^2=32\ | \div8$$ $$x^2=4\ | \div8$$ Dopiero teraz równanie jest to doprowadzone do postaci $x^2=k$

I sposób:
intuicja

Opierając się na naszej MAT intuicji staramy się "zgadnąć" rozwiązanie. $$x^2 = 4$$ W naszym przypadku, pytamy się: "Jaka liczba podniesiona do kwadratu daje 4?".
- "Dwa, bo $(2)^2=4$."
I teraz uwaga bo o tym często się zapomina!
"Czy jeszcze jakaś liczba podniesiona do kwadratu daje $4$?"
- Otóż $-2 $ również spełnia tą nierówność, gdyż $(-2)^2 = 4 $.

Zatem rozwiązaniami tego równania są liczby $2$ oraz $-2$.
Zapisujemy to tak: $$x_1 = -2 \vee x_2 = 2$$

II sposób:
wzór skróconego mnożenia

Przenosimy wszystko na jedną stronę: $$x^2 - 4 = 0$$ $$x^2 - 2^2 = 0$$ Użyjemy teraz wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, aby znaleść pierwiastki (rozwiązania) tego równania. $$\color{blue}{a}^2 - \color{green}{b}^2 = (\color{blue}{a}-\color{green}{b})(\color{blue}{a}+\color{green}{b})$$ Podstawiamy: $$\color{blue}{x}^2 - \color{green}{2}^2 = (\color{blue}{x}-\color{green}{2})(\color{blue}{x}+\color{green}{2})$$ Zatem otrzymujemy: $$(x-2)(x+2)=0$$ Stąd otrzymujemy: $$x_1-2 = 0 \vee x_2+2 = 0$$ $$x_1 = 2 \vee x_2 = -2$$

III sposób:
pierwiastkowanie

Spierwiastkujmy obustronnie nasze równanie. $$x^2 = 4\ |\ \sqrt{a}$$ $$\sqrt{x^2} = \sqrt{4}$$ Jednakże należy pamiętać, że: $$\color{red}{\sqrt{x^2} = |x|}.$$ Stąd otrzymujemy: $$|x| = 2$$ Rozwiązując nierówność z wartością bezwzględną otrzymujemy: $$x_1 = -2 \vee x_2 = 2$$

Takie same rozwiązania o przeciwnych znakach.

Jeżeli równanie postaci $x^2=k$ ma dwa rozwiązania to są one liczbami przeciwnymi, czyli mają przeciwny znak.

Przykład: Rozwiąż równanie $18x^2=2$
Przekształcamy to porządanej postaci. $$18^2=2\ |\ \div 18$$ $$x^2=\frac{1}{9}$$

I sposób:
intuicja

Spróbujmy zgadnąć rozwiązanie. $$x^2 = \frac{1}{9}$$ Pytamy się: -"Jaka liczba podniesiona do kwadratu daje $\frac{1}{9}$?".
-"Jedna trzecia, bo $(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$" Pamiętaj o następnym pytaniu! "Czy jeszcze jakaś liczba podniesiona do kwadratu daje $\frac{1}{9}$"
$-\frac{1}{3}$ również spełnia tą nierówność, gdyż $(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$.

Ostatecznie zapisujemy rozwiązania równania: $$x_1 = -\frac{1}{3} \vee x_2 = \frac{1}{3}$$

II sposób:
wzór skróconego mnożenia

Wszystko na jedną stronę: $$x^2 - \frac{1}{9} = 0$$ Zapisujemy $\frac{1}{9}$ w postaci kwadratu: $$x^2 - (\frac{1}{3})^2 = 0$$ Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. $$\color{red}{a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)}$$ odpowiedno podstawiając: $$a = x\ \\qquad b = \frac{1}{3}$$ otrzymujemy: $$(x-\frac{1}{3})(x+\frac{1}{3})=0$$ Stąd, porównując zawartość każdego nawiasu z zerem: $$x_1-\frac{1}{3} = 0 \vee x_2+\frac{1}{3} = 0$$ $$x_1 = -\frac{1}{3} \vee x_2 = \frac{1}{3}$$

III sposób:
pierwiastkowanie

Pierwiastkujemy obustronnie. $$x^2 = \frac{1}{9}\ |\ \sqrt{a}$$ $$\sqrt{x^2} = \sqrt{\frac{1}{9}}$$ $$\sqrt{x^2} = \frac{1}{3}$$ Ze wzoru $$\color{red}{\sqrt{x^2} = |x|}.$$ otrzymujemy: $$|x| = \frac{1}{3}$$ Rozwiązując nierówność z wartością bezwzględną otrzymujemy: $$x_1 = -\frac{1}{3} \vee x_2 = \frac{1}{3}$$

Jedno lub brak rozwiązań! O zgrozo...

Może się również zdarzyć tak, iż równanie będzie miało tylko jedno rozwiązanie, lub nie będzie miało ich w ogóle.

Rozwiąż równanie $47x^2=0$.
Szybko i na temat:
-Jaka liczba podniesiona do kwadratu, pomnożona przez 47 daje zero?
-Zero! Bo $47\cdot (0)^2 = 0$.

Rozwiązanie można zapisać tak: $$47x^2=0\ |\div 47$$ $$x^2=0$$ $$x=0$$ W tym przypadku otrzymujemy tylko jedno rozwiązanie.
Rozwiąż równanie $x^2=-64$.
Intuicyjnie: Jaka podstawiona za $x$ spełni to równanie?
$8$ jest dobrą próbą, ale $8^2 = 64$, a nie $-64$.
Więc $8$ nie spełnia tego równania?
A co z $\color{red}{-8}$, $(-8)^2=64$, a nie $-64$
Co oznacza, iż $-8$ również nie spełnia tego równania.
Nie sposób wymyślić żadną inną sensowną próbę rozwiązania. Zatem poprawną odpowiedzią jest:
Sprzecznosć. Brak rozwiązań.
Który sposób rozwiązania wybrać?

Najbardziej zachęcamy do korzystania z metody wykorzystującej wzory skróconego mnożenia. Wspierając się przy tym metodą intuicyjną w ramach sprawdzenia samego siebie.

Dlaczego nie rozwiązywaliśmy tych równań za pomocą delty oraz wzorów?

Dobre, pytanie. Jasne, że ten sposób również zadziała co możesz zobaczyć poniżej, pytanie tylko po co utrudniać sobie życie?

$$x^2 = 36$$ Wszystko na lewą stronę. $$x^2 - 36 = 0$$ Wypisujemy wartości współczynników zgodnie ze wzorem $ax^2+bx+c$:
$a = 1$
$b = 0$ gdyż czynnik $bx$ nie występuje
$c = -36$
Liczymy deltę:
$$\Delta = b^2-4ac = 0^2-4\cdot 1 \cdot (-36) = 144$$ $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{144} = 12$$ $$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-0-12}{2 \cdot 1} = \frac{-12}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-0+12}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = -6$$

Jak widać taki sposób daje jak najbardziej spodziewany wynik, jednakże nie jest najszybszym. Na liczenie $\Delta$-ty przyjdzie jeszcze czas. ;)