Postacie Funkcji Kwadratowej

Wzór funkcji kwadratowej może przyjmować różne postacie. Każda z tych postaci jest przydatna do czegoś innego, także bardzo ważne jest ich zrozumienie.

Postacie Funkcji Kwadratowej

Postać Ogólna

Jest to podstawowa postać funkcji kwadratowej, jest też najczęściej spotykana. Wygląda ona następująco: $$f(x) = \color{green}{a}x^2+\color{blue}{b}x+\color{orange}{c}$$
Przykłady postaci ogólnej:
a) $f(x) = 3x^2+3x+9$
b) $g(x) = x^2-3x$
c) $y = x^2-12$

Do takiej postaci funkcji kwadratowej odwołuje się właśnie $\Delta$. Która określona jest następującym wzorem:

$$\color{purple}{\Delta} = \color{blue}{b}^2 - 4 \color{green}{a} \color{orange}{c}$$
gdy $\color{purple}{\Delta} > 0$ gdy $\color{purple}{\Delta} = 0$ gdy $\color{purple}{\Delta} < 0$
2 rozwiązania 1 rozwiązanie brak rozwiązań
Przecięcie z osią $OY$

Wykres funkcji kwadratowej zawsze przecina oś $OY$ w punkcie $(0,\color{orange}{c})$.


Postać Iloczynowa

Wygląd postaci iloczynowej zależy od wartości $\Delta$-ty co przedstawia poniższa tabela:

$$\color{purple}{\Delta} > 0$$ $$\color{green}{a}(x-\color{brown}{x_1})(x-\color{brown}{x_2})$$
$$\color{purple}{\Delta} = 0$$ $$\color{green}{a}(x-\color{brown}{x_0})^2$$
$$\color{purple}{\Delta} < 0$$ postać iloczynowa nie istnieje
Przykłady postaci iloczynowej: $$\textrm{a)}\ f(x) = (x-1)(x+2) \qquad \textrm{b)}\ g(x) = 4(x-3)(x+7) \qquad \textrm{c)}\ y = (x-4)^2$$
Faktoryzacja - Rozkład na Czynniki

Proces zamiany z postaci ogólnej na postać iloczynową nazywamy rozkładem na czynniki lub faktoryzacją.

Więcej o rozkładzie na czynniki znajdziesz tutaj: Faktoryzacja - Rozkład na Czynniki


Postać Kanoniczna

$$f(x) = \color{green}{a}(x-\color{orchid}{p})^2 + \color{fuchsia}{q}$$ $\color{orchid}{p} = -\frac{\color{blue}{b}}{2\color{green}{a}}$ - odpowiada za przesuwanie funkcji góra-dół
$\color{fuchsia}{q} = -\frac{\color{brown}{\Delta}}{4\color{green}{a}} = -\frac{\color{blue}{b}^2 - 4 \color{green}{a} \color{orange}{c}}{4\color{green}{a}}$ - odpowiada ze przesuwanie funkcji lewo-prawo
Funkcjw w postaci kanonicznej:
a) $f(x) = (x-5)^2$
b) $g(x) = 2(x+1)^2 - 9$
c) $y = \frac{1}{5}(x-3)^2 + 2$

Przekształć poniższe funkcje kwadratowe z postaci ogólnej do postaci kanonicznej.

$$f(x) = \color{green}{1}x^2\color{blue}{-4}x + \color{orange}{6}$$
$$y = \color{green}{-1}x^2 + \color{blue}{8}x + \color{orange}{9}$$

Obliczamy $\color{orchid}{p}$ i $\color{fuchsia}{q}$ $$\boldsymbol{\color{orchid}{p} = -\frac{\color{blue}{b}}{2\color{green}{a}} \qquad \color{fuchsia}{q} = -\frac{\color{brown}{\Delta}}{4\color{green}{a}} = -\frac{\color{blue}{b}^2 - 4 \color{green}{a} \color{orange}{c}}{4\color{green}{a}}}$$

$$\color{orchid}{p} = -\frac{\color{blue}{-4}}{2 \cdot \color{green}{1}} = \frac{4}{2} = 2$$ $$\color{fuchsia}{q} = -\frac{(\color{blue}{-4})^2 - 4 \cdot \color{green}{1} \cdot \color{orange}{6}}{4 \cdot \color{green}{1}} = -\frac{-8}{4} = 2$$
$$\color{orchid}{p} = -\frac{\color{blue}{8}}{2 \cdot \color{green}{-1}} = -\frac{\color{blue}{8}}{-2} = 4$$ $$\color{fuchsia}{q} = -\frac{\color{blue}{8}^2 - 4 \cdot \color{green}{-1} \cdot (\color{orange}{9})}{4 \cdot \color{green}{-1}} = -\frac{64+36}{-4} = \frac{100}{4} = 25$$
$$\color{orchid}{p} = 2 \qquad \color{fuchsia}{q} = 2$$
$$\color{orchid}{p} = 4 \qquad \color{fuchsia}{q} = 25$$

$\color{orchid}{p}$ i $\color{fuchsia}{q}$ podstawiamy do wzoru $$\boldsymbol{\color{green}{a}(x-\color{orchid}{p})^2 + \color{fuchsia}{q}}$$

$$f(x) = \color{green}{1}(x-\color{orchid}{2})^2 + \color{fuchsia}{2}$$
$$y = \color{green}{-1}(x-\color{orchid}{4})^2 + \color{fuchsia}{25}$$
Wykres Funkcji Kwadratowej

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie $W = (\color{orchid}{p},\color{fuchsia}{q})$