Nierówności Kwadratowe z Parametrem

Znajdź te wartości parametru $m$, dla których liczba $2$ nie należy do zbioru rozwiązań nierówności $x^2 + (m^3 + 3)x - 6m^2 - 18m + 44 > 0$.
Rozwiązanie:
Szukamy tych wartości parametru $m$, dla których $2$ nie należy do zbioru rozwiązań nierówności $x^2 + (m^3 + 3)x - 6m^2 - 18m + 44 > 0$, czyli należy do zbioru rozwązań $x^2 + (m^3 + 3)x - 6m^2 - 18m + 44 \leq 0$.
Teraz podstawiamy $x = 2$: $$4 + (m^3 + 3)2 - 6m^2 - 18m + 44 \leq 0$$ $$4 + 2m^3 + 6 - 6m^2 - 18m + 44 \leq 0$$ $$2m^3 - 6m^2 - 18m + 54 \leq 0 \quad | \div 2$$ $$m^3 - 3m^2 - 9m + 27 \leq 0$$ $$m^2(m - 3) - 9(m - 3) \leq 0$$ $$(m - 3)(m^2 - 9) \leq 0$$ $$(m + 3)(m - 3)^2 \leq 0$$ Szkicujemy wykres i zaznaczamy rozwiązania nierówności: Odczytujemy rozwiązanie z wykresu: $$m \in (-\infty;-3\rangle \cup \{3\}$$ Odp.: $m \in (-\infty;-3\rangle \cup \{3\}$.
Dla jakich wartości parametru $m$ wartości funkcji $f(x) = (2m + 1)x^2 + (m - 1)x + 3m$ są dla każdego argumentu $x$ mniejsze od odpowiednich wartości funkcji $g(x) = (1-m)x + 3$? Rozwiązanie:
Szukamy takich wartości parametru $m$, aby każda liczba rzeczywista $x$ spełniała nierówność $f(x) < g(x)$, czyli nierówność: $$(2m + 1)x^2 + (m - 1)x + 3m < (1-m)x + 3$$ Przekształcamy tą nierówność: $$(2m + 1)x^2 + 2(m - 1)x + 3(m-1) < 0$$
I.
Jeśli $2m + 1 = 0$, to powyższa nierówność jest nierównością liniową: $$-3x - 4,5 < 0$$ Nierówności tej nie spełnia każda liczba rzeczywista, więć $m = -0,5$, nie jest szukana wartością parametru.
II.
Jeśli $2m + 1 \neq 0$, to powyższa nieróność jest nierównością kwadratową. Nierówność tę spełnia każda liczba rzeczywista $x$, jeśli $2m - 1 < 0$ i $\Delta < 0$. $$\Delta = 4(m - 1)^2 - 12(m - 1)(2m - 1) =\\ = 4(m-1)(m - 1 - 6m - 3) =\\ = 4(m - 1)(-5m - 4)$$ Więc rozwiązaniami nierówności $\Delta < 0$ są liczby: $$m \in (-\infty;-0,8)\cup(1;+\infty)$$ Natomiast układ nierówności $2m - 1 < 0$ i $\Delta < 0$ spełniają liczby $m \in (-\infty;-\frac{4}{5})$. Odp.: $m \in (-\infty;-\frac{4}{5})$