Delta - Wyróżnik Funkcji Kwadratowej

Pewnie zastanawiasz sie czym jest ta słynna Delta... Delta lub inaczej $\Delta$ to inaczej wyróżnik kwadratowy. Takie pojęcie stworzone przez matematyków, aby być w stanie lepiej opisać funkcje kwadratową. Jest przydatna do określania ilości rozwiązań oraz ich obliczania.

Wzór na Deltę $\color{purple}{\Delta}$

$$\color{purple}{\Delta} = \color{blue}{b}^2 - 4 \color{green}{a} \color{orange}{c}$$
gdy $\color{purple}{\Delta} > 0$ gdy $\color{purple}{\Delta} = 0$ gdy $\color{purple}{\Delta} < 0$
2 rozwiązania 1 rozwiązanie brak rozwiązań

'Kto pyta nie błądzi'

Jak wygląda ogólna postać równania kwadratowego?

Jednym ze sposobów na zapisanie rówanania kwadratowego (funkcji kwadratowej) jest postać ogólna \(ax^2+bx+c\).


Co oznacza, że równanie jest drugiego stopnia?

Równanie 2 stopnia oznacza, że największa potęga występująca przy zmiennej \(x\) to 2 (\(x^2\)). Zatem równanie postaci \(ax^2+bx+c=0\) jest stopnia drugiego. Ogólnie tą regułę można podać następująco: Równanie \(n\)-tego stopnia oznacza, że największa potęga występująca przy zmiennej \(x\) to \(n\) (\(x^n\)).


Co oznacza, że równanie ma rozwiązanie?

Oznacza to iż, dla danej wartości zmiennej \(x\) równanie jest spełnione.

Jak to możliwe, że jedno rówanie może mieć 2 rozwiązania?

Równania drugiego stopnia w zależności od wartości wyróżnika kwadratowego (delty \(\Delta\)) mogą mieć zero, jedno lub 2 rozwiązania.


Co w przypadku gdy współczynnik \(a\) przy najwyżej potędze równania \(ax^2+bx+c=0\) jest równy zero?

Wtedy równanie redukuje się do równania pierwszego stopnia postaci \(bx+c=0\), które jest równaniem liniowym.


Jakie zastosowanie ma funkcja kwadratowa i do czego może się przydać?

Jak już zauważyłeś, w powyższych rozważaniach modelowaliśmy tor ruchu piłki za pomocą fragmentu paraboli funkcji kwadratowej. Równania kwadratowe mają swoje zastosowanie w dziedzinie balistyki (tor ruch pocisku, czy nawet średniowieczne katapulty). Powszechne zastosowanie znajduje również w problemach optymalizacyjnych, które mogą polegać np. na obliczaniu pola danej figury przy zadanym obwodzie.

Oblicz deltę oraz podaj ilość rozwiązań dla następujących równań:

$2x^2 - 3x -2$

I sposób:
faktoryzacja

$$x^2 \color{blue}{-8}x + \color{orange}{16}$$ Musimy znaleźć takie dwie liczby, które jak dodamy dadzą nam $\color{blue}{-8}$: $$\_ + \_ = \color{blue}{-8}$$ $$-4 + (-4) = \color{blue}{-8}$$ oraz ich iloczyn musi wynosić $\color{orange}{16}$: $$\_ \cdot \_ = \color{orange}{16}$$ $$-4 \cdot (-4) = \color{orange}{16}$$ $-4$ spełnia oba warunk zatem $$x^2 \color{blue}{-8}x + \color{orange}{16} = (x - 4^2)$$ $$\color{brown}{x_0} = 4$$

II sposób:
wzór skróconego mnożenia

Nie jest to łatwe do spostrzeżenia jednakże w tym przypadku można zastosować wzór skróconego mnożenia $$\color{green}{a}^2-2\color{green}{a}\color{blue}{b}+\color{blue}{b}^2=(\color{green}{a}-\color{blue}{b})^2$$ $$\color{green}{x}^2 - 2\cdot \color{blue}{4}\color{green}{x} + \color{blue}{4}^2 = (\color{green}{x}-\color{blue}{4})^2$$ $$(x - 4)^2 = 0$$ $$x - 4 = 0$$ $$\color{brown}{x_0} = 4$$

III sposób:
delta

$$\color{green}{a} = 1,\ \color{blue}{b} = -8,\ \color{orange}{c} = 16$$ $$\color{purple}{\Delta} = \color{blue}{b}^2 - 4 \color{green}{a} \color{orange}{c}$$ $$\color{purple}{\Delta} = (-8)^2-4\cdot 1 \cdot 16$$ $$\color{purple}{\Delta} = 64 - 64 = 0$$ $$\color{brown}{x_0} = \frac{-\color{blue}{b}}{2\color{green}{a}} = \frac{-(-8)}{2\cdot 1} = 4$$