Ciągi

Ciąg liczbowy jak sama nazwa wskazuje wygląda następująco $1,\ -4,\ 13\ -1,\ 100,\dots$.

  • Każdą liczbę w ciągu nazywamy wyrazem tego ciągu.
  • $a_n$ nazywamy $n$-tym wyrazem ciągu.
  • $n$ to pozycja danego wyrazu wciągu, np. $a_7$ oznacza wartość siódmego wyrazu ciągu $a$.
  • Ogólna forma ciągu wygląda następująco $$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\dots$$
  • Wyrazy ciągu mogą, ale nie muszą, podążać jakimś wzorem. Niektóre wyrazy w ciągu, są po prostu przypadkowe
W następującym ciągu $$\begin{array}{ccc} 1, & 4, & 7, & 10, & 13, & \dots \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5 & \dots \\ \end{array}$$ zamist mówić słownie "trzecim wyrazem ciągu $1,\ 4,\ 7,\ 10,\ 13,\dots$ jest $7$" możemy po prostu napisać $$a_3 = 7$$ Czyli zapis $$b_{101} = 2$$ oznacza, że sto pierwszym wyrazem ciągu $b$ jest $2$.
Ciągi, którem mają wzór

Ciągi bardzo często są zdefniowane za pomocą wozoru. Zatem zamiast podawać ciąg jako $12,\ 24,\ 36,\dots$ możemy po prostu napisać $$a_\color{red}{n} = 12\color{red}{n}$$ gdzie $\color{red}{n}$ oznacza pozycję na, której znajduje się dany wyraz ciągu. Czyli $$\begin{array}{ccc} a_\color{red}{1} & a_\color{red}{2} & a_\color{red}{3} & a_\color{red}{4} & \dots \\ 12, & 24, & 36, & 48, & \dots \\ 12 \cdot \color{red}{1} & 12 \cdot \color{red}{2} & 12 \cdot \color{red}{3} & 12 \cdot \color{red}{4} & \dots \\ \end{array}$$

Znajdź pierwsze trzy wyrazy ciągu $a$, którego $n$-ty wyraz ciągu dany jest wzorem $a_n = 2n - 1$.
$$a_\color{red}{n} = 2\color{red}{n} - 1$$ Aby obliczyć pierwszy wyraz tego ciągu musimy za $\color{red}{n}$ podstawić $\color{red}{1}$, zatem $\color{red}{n}= \color{red}{1}$ $$a_\color{red}{1} = 2 \cdot \color{red}{1} - 1 = 1$$ Dla drugiego wyrazu $\color{red}{n}= \color{red}{2}$ $$a_\color{red}{2} = 2 \cdot \color{red}{2} - 1 = 3$$ Ostatecznie $\color{red}{n} = \color{red}{3}$ $$a_\color{red}{3} = 2 \cdot \color{red}{3} - 1 = 5$$
Znajdź piąty wyraz ciągu $a_5$ oraz dziesiąty wyraz ciągu $a_10$, którego $n$-ty wyraz ciągu dany jest wzorem $a_n = \frac{n}{n + 5}$.
Tak jak w poprzednim przykładzie. Dla piątego wyrazu, otrzymujemy ($\color{red}{n} = \color{red}{5}$) $$a_\color{red}{5} = \frac{\color{red}{5}}{\color{red}{5} + 5} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$ a dla dziesiątego ($\color{red}{n} = \color{red}{10}$) $$a_\color{red}{10} = \frac{\color{red}{10}}{\color{red}{10} + 5} = \frac{10}{15} = \frac{1}{3}$$
Znajdź wzórn na $n$-ty wyraz ciągu $-2,\ -4,\ -6,\ -8,\dots$.
Tym razem znamy wartość każdego wyrazu oraz na której pozycji znajduje się ten wyraz. Pierwszy element to $-2$, czyli $$a_\color{red}{1} = -2 = -2 \cdot \color{red}{1}$$ Drugi to $-4$ czyli $$a_\color{red}{2} = -4 = -2 \cdot \color{red}{2}$$ Dla trzeciego wyrazu wartość wynosi $-6$ $$a_\color{red}{3} = -6 = -2 \cdot \color{red}{3}$$ Zatem widzimy, że każdy wyraz możemy obliczyć następującym wzorem $$a_\color{red}{n} = -2\color{red}{n}$$
Znajdź czwarty wyraz ciągu $a_4$, którego $n$-ty wyraz ciągu dany jest wzorem $a_n = (-1)^n(n^2 + 3)$.
Dla czwartego wyrazu ($\color{red}{n} = \color{red}{4}$) $$a_\color{red}{n} = (-1)^\color{red}{n}(\color{red}{n}^2 + 3)$$ $$a_\color{red}{4} = (-1)^\color{red}{4} \cdot (\color{red}{4}^2 + 3) = 1 \cdot 19 = 19$$