Ciąg Geometryczny

Ciąg to uprządkowana lista liczb. Podczas gdy niektóre ciągi są przypadkowymi liczbami, inne ciągi są zdefiniowane za pomocą wzoru na wyraz ciągu. Takimi ciągami są ciągi arytmetyczne i ciągi geometryczne. Teraz zajmiemy się ciągiem geometrycznym.

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego $(a_n)$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q$: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \ \ \ dla \ \ n \geq 2$
Wzór na sumę $S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu geometrycznego: $S_n = \left\{ \begin{array}{ll} a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} & \textrm{dla $q \neq 1$}\\ n \cdot a_1 & \textrm{dla $q=1$} \end{array} \right.$
Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: $a_n^2 = \frac{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}{2} \ \ \ dla \ \ n \geq 2$"
Ciąg Geometryczny $\Rightarrow$ mnożenie

Ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz ciągu różni jest pomnożony przez stałą wartość nazywamy ciągiem geometrycznym.

Iloraz Ciągu Geometrycznego

Liczbę, przez którą mnożymy każdy wyrazu ciągu, $q$ nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego. Aby znaleźć iloraz ciągu należy obliczyć iloraz między dwoma wyrazami tego ciągu znajdującymi się jeden po drugim $$q = a_{n+1} \div a_n$$

Na przykład między drugim i pierwszym wyrazem iloraz wynosi $$q = a_2 \div a_1$$

Ciąg Geometryczny Iloraz Ciągu, $q$
$$5,\ 10,\ 20,\ 40\dots$$ $$q = 2$$ Mnożymy przez $2$ aby otrzymać każdy kolejny wyraz ciągu, czyli iloraz ciągu wynosi $a_2 \div a_1 = 2$.
$$-11,\ 22,\ -44,\ 88\dots$$ $$q = -2$$ Mnożymy przez $-2$ aby otrzymać każdy kolejny wyraz ciągu, czyli iloraz ciągu wynosi $a_2 \div a_1 = -5$.
$$4,\ \frac{8}{3},\ \frac{16}{9},\ -\frac{32}{27},\dots$$ $$q = \frac{2}{3}$$ Dzielimy przez $\frac{2}{3}$ aby otrzymać każdy kolejny wyraz ciągu, czyli różnice ciągu wynosi $a_2 \div a_1 = \frac{2}{3}$.
Znajdź iloraz ciągu $6,\ -3,\ \frac{3}{2}, -\frac{3}{4},\dots$.
Iloraz $r$ możemy znaleźć dzieląc drugi wyraz ciągu $a_2 = -3$, przez pierwszy wyraz tego ciągu $a_1 = 6$. W tym przypadku $$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$$ Sprawdzamy i widzimy, iż każdy natępny wyraz może zostać otrzymany poprzez pomnożenie go przez $q = -\frac{1}{2}$ $$a_3 = \frac{3}{2} = -3 \cdot (-\frac{1}{2}) = q \cdot a_2$$ $$a_4 = -\frac{3}{4} = \frac{3}{2}\cdot (-\frac{1}{2}) = q \cdot a_3$$
Znajdź iloraz ciągu danego wzorem $a_n = 5 \cdot (2)^{n-1}$.
ównując ten wzor ze wzorem na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego widzimy, iż iloraz ciągu geometrycznego $q = 2$. Co więcej wypisując kilka pierwszych wyrazów tego ciągu, mamy$$5,\ 10,\ 20,\ 40,\dots$$ widzimy, iż $q = 2$.
Znajdź $7$ wyraz ciągu geometrycznego $2,\ 6,\ 18,\ 54,\dots$.
$$n = 7,\ a_1 = 2,\ q = 3$$ $$a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}$$ Podstawiamy $$a_7 = 2 \cdot 3^{7 - 1}$$ $$a_7 = 2 \cdot 3^6$$ $$a_7 = 1458$$ Czyli $7$ wyraz tego ciągu wynosi $1458$.
Znajdź $11$ wyraz ciągu geometrycznego $1,\ -\frac{1}{2}, \frac{1}{4},\ -\frac{1}{8},\dots$
$$n = 11,\ a_1 = 1,\ q = -\frac{1}{2}$$ $$a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}$$ $$a_11 = 1 \cdot (-\frac{1}{2})^{11-1} = \frac{1}{1024}$$
Znajdź $a_8$ dla ciągu geometrycznego $0,5,\ 3,5,\ 24,5,\ 171,5,\dots$
$$n = 8,\ a_1 = 0.5,\ r = 7$$ $$a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}$$
Oblicz następującą sumę $$3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5$$
Jest to ciąg geometryczny, w którym: $$n = 5,\ a_1 = 3,\ q = 3$$ $$S_5 = 3\cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = \frac{-726}{-2} = 363$$
Znajdź sumę pierwszych ośmiu wyrazów ciągu geometrycznego $$-5,\ 15,\ -45,\ 135,\dots$$
$$n = 8,\ a_1 = -5,\ q = -3$$ $$S_8 = -5 \cdot \frac{1 - (-3)^8}{1 - (-3)}$$ $$S_8 = -5 \cdot \frac{1 - 6561}{4}$$ $$S_8 = \frac{32800}{4}$$ $$S_8 = 8200$$
Suma

Słowo "suma" wskazuje, iż musimy użyć wzoru na sumę ciągu geometrycznego.

Znajdź piewszy wyraz ciągu geometrycznego, w którym trzeci i szósty wyraz wynoszą $\frac{1}{9}$.
Załóżmy przec chwilę, iż nasz ciąg zaczyna się od trzeciego wyrazu, stąd $$a_1 = 3,\ a_4 = \frac{1}{9},\ n = 4$$ $$a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}$$ $$a_4 = a_1 \cdot q^3$$ $$\frac{1}{9} = 3 \cdot q^3$$ $$q^3 = \frac{1}{27}$$ $$q = \frac{1}{3}$$ Znając iloraz ciągu możemy obliczyć właściwy pierwszy wyraz tego ciągu. Wynosi on $$a_1 = a_3 \cdot q^{-2} = 3 \cdot 9 = 27$$
Piłka zostaje zrzucona z wysokości $8$ metrów. Piłeczka odbija się na wysokość $80\%$ poprzedniej wysokości po odbiciu. Jak wysoko odbije się piłeczka po piątym odbiciu?
$80\%$ z $8$ to $8 \cdot 0.8 = 6,4$ Zatem $n = 5,\ a_1 = 6,4,\ q = 0,8$ $$a_n = a_1 \ \cdot q^{n - 1}$$ $$a_n = 6,4 \ \cdot q^{5 - 1}$$ $$a_n = 6,4 \cdot 0,8^4= 2,62144$$