Ciąg Arytmetyczny

Ciąg to uprządkowana lista liczb. Podczas gdy niektóre ciągi są przypadkowymi liczbami, inne ciągi są zdefiniowane za pomocą wzoru na wyraz ciągu. Takimi ciągami są ciągi arytmetyczne i ciągi geometryczne.

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$: $$a_n = a_1 + (n-1)r$$
Wzór na sumę $S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego: $$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$ $$ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$$
Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek: $$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \ \ \ \textrm{dla} \ \ n \geq 2$$
Ciąg Arytmetyczny $\Rightarrow$ dodawanie

Ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz ciągu różni się od poprzedniego o stałą wartość nazywamy ciągiem arytmetycznym.

Różnica Ciągu Arytmetycznego

Liczbę, którą dodajemy do każdego wyrazu ciągu, $r$ nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego. Aby znaleźć różnicę ciągu należy obliczyć różnicę między dwoma wyrazami tego ciągu znajdującymi się jeden po drugim $$r = a_{n+1} - a_n$$

Na przykład między drugim i pierwszym wyrazem. $$r = a_2 - a_1$$

Ciąg Arytmetyczny Różnica Ciągu, $r$
$$1,\ 4,\ 7,\ 10,\ 13,\ 16,\ \dots$$ $$r = 3$$ Dodajemy $3$ aby otrzymać każdy kolejny wyraz ciągu, czyli różnice ciągu $a_2 - a_1 = 3$.
$$15,\ 10,\ 5,\ 0,\ -5,\ -10,\ \dots$$ $$r = -5$$ Dodajemy $-5$ aby otrzymać każdy kolejny wyraz ciągu, czyli różnice ciągu $a_2 - a_1 = -5$.
$$1,\ \frac{1}{2},\ 0,\ -\frac{1}{2},\dots$$ $$r = -\frac{1}{2}$$ Dodajemy $-\frac{1}{2}$ aby otrzymać każdy kolejny wyraz ciągu, czyli różnice ciągu $a_2 - a_1 = -\frac{1}{2}$.
Znajdź różnicę następującego ciągu arytmetycznego $$5,\ 9,\ 13,\ 17\dots$$

Różnica ciągu arytmetycznego, $r$, może być znaleziona poprzez odjęcie pierwszego wyrazu ciągu od drugiego, co w tym przypadku daje nam $4$. Możemy sprawdzić, iż każde dwa po sobie występujące wyrazy tego ciągu różnią się o $4$. Zatem $$r = a_{n+1} - a_n = a_2 - a_1 = 9 - 5 = 4$$

Znajdź $10$-ty wyraz ciągu $3,\ 5,\ 7,\ 9,\dots$

Wykorzystamy wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$: $a_n = a_1 + (n-1)r$, gdzie $$n = 10,\ a_1 = 3,\ r = 2$$ $$a_{10} = 3 + (10-1)2 = 21$$

Znajdź różnicę ciągu arytmetycznego, którego wyraz ogólny dany jest wzorem $$a_n = 4n + 2$$

Znajac wzór na wyraz ogólny ciągu możemy obliczyć pierwszych kilka wyrazów tego ciągu zaczynając od $n = 1$ $$a_{\color{red}{n}} = 4 \color{red}{n} + 2$$ $$a_{\color{red}{1}} = 4 \cdot \color{red}{1} + 2 = 6$$ $$a_{\color{red}{2}} = 4 \cdot \color{red}{2} + 2 = 10$$ $$a_{\color{red}{3}} = 4 \cdot \color{red}{3} + 2 = 14$$ $$a_{\color{red}{4}} = 4 \cdot \color{red}{4} + 2 = 18$$ $$6,\ 10,\ 14,\ 18,\dots$$

Czyli liczba $4$ jest wartością, którą dodajemy do każdego kolejnego wyrazu tego ciągu. Zatemy, różnica ciągu arytmetycznego $r = 4$

Możemy też wykorzystać fakt, iż $$r = a_{n+1} - a_n$$ $$a_n = 4n + 2$$ $$a_{n + 1} = 4(n + 1) + 2 = 4n + 4 + 2 = 4n + 6$$ $$r = a_{n + 1} - a_n = 4n + 6 - (4n + 2) = 4$$

Znajdź $7$-my wyraz ciągu arytmetycznego $a_7$ w którym pierwszy wyraz ciągu $a_1 = 3x$, natomiast różnica tego ciągu $r = -x$.

Wykorzystamy wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$: $a_n = a_1 + (n-1)r$, gdzie $$n = 7,\ a_1 = 3x,\ r= -x$$ $$a_7 = 3x + (7-1)(-x) = 3x - 6x = -3x$$

Znajdź wzór ogólny ciągu arytmetycznego $1,\ 3,\ 5,\ 7,\dots$.

Zapisujemy nasze wiadome $$a_1 = 1,\ r = 2$$ $$a_n = a_1 + (n - 1)r$$ $$a_n = 1 + (n - 1)2$$ $$a_n = 1 + 2n - 2$$ $$a_n = 2n - 1$$

Znajdź $15$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $a_{15}$, w którym $$a_3 = -4 + 5x,\ a_6 = -13 + 11x$$
$$a_6 = a_5 + r$$ $$a_6 = (a_4 + r) + r$$ $$a_6 = a_4 + 2r$$ $$a_6 = (a_3 + r) + 2r$$ $$a_6 = a_3 + 3r$$ $$-13 + 11x = -4 + 5x + 3r$$ $$-13 + 11x + 4 - 5x = 3r$$ $$3r = 6x - 9$$ $$r = 2x - 3$$ Tak jak poprzednio otrzymujemy, iż $$a_{15} = a_6 + (15 - 6)r$$ $$a_{15} = -13 + 11x + 9(2x - 3)$$ $$a_{15} = -13 + 11x + 18x - 27$$ $$a_{15} = 29x - 40$$
Znajdź sumę pierwszy $12$ dodatnich liczb parzystych.

dodatnie parzyste liczby: $2,\ 4,\ 6,\ 8\dots$ $$n = 12,\ a_1 = 2,\ r = 2$$ $$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2}$$ $$S_{12} = \frac{2 \cdot 2 + (12-1) \cdot 2}{2} \cdot 12$$ $$S_{12} = \frac{4 + 22}{2} \cdot 12$$ $$S_{12} = \frac{26}{2} \cdot 12$$ $$S_{12} = 13 \cdot 12 = 156$$

Dla ciągu arytmetycznego $7,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ 23$ znajdź $a_2,\ a_3,\ a_4$.

Musimy znaleźć różnicę ciągu arytmetycznego, a wiem że $$a_1 = 7, a_n = a_5 = 23, n = 5$$ co więcej $$a_n = a_1 + (n - 1)r$$ $$23 = 7 + (5 - 1)r$$ $$23 - 7 = 4r$$ $$4r = 16$$ $$r = 4$$ Teraz możemy obliczyć $a_2,\ a_3,\ a_4$ $$a_2 = a_1 + r = 7 + 4 = 11$$ $$a_3 = a_2 + r = 11 + 4 = 15$$ $$a_4 = a_3 + r = 15 + 4 = 19$$

Znajdź ilość wyrazów w następującym ciągu arytmetycznym $7,\ 10,\ 13,\ \dots,\ 55$.

$$a_1 = 7,\ a_n = 55,\ r = 3$$ Musimy znaleźć $n$, zatem wykorzystując wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $$a_n = a_1 + (n-1)r$$ $$55 = 7 + (n-1)3$$ $$55 - 7 = 3n - 3$$ $$48 + 3 = 3n$$ $$3n = 51$$ $$n = 17$$ Zatem ten ciąg ma $17$ wyrazów.

$n$ jest zawsze liczbą naturalną

Kiedy szukamy ilości wyrazów ciągu $n$ to wiemy, że nasz wynik będzie liczbą całkowitą dotatnią.

W teatrze, w pierwszym rzędzie jest $60$ siedzeń, w drugim $68$, w trzecim $76$, itd. Wiedząc, że w teatrze jest 20 rzędów, oblicz ile jest siedzeń w tearze.

Wykorzystamy wzór na sumę $S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego (w tym przypadku każdy z wyrazów jest liczbą siedzeń w poszczególnym rzędzie): $$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$$ $$n = 20,\ a_1 = 60,\ r = 8$$ $$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2}$$ $$S_{20} = \frac{2 \cdot 60 + (20-1) \cdot 8}{2} \cdot 20$$ $$S_{20} = \frac{120 + 152}{2} \cdot 20 = \frac{272}{2} \cdot 20 = 2720$$

Zatem w tearze jest $2720$ siedzeń.